第一节 映射与函数

一、集合

1. 定义

定义1：具有某种特定性质的事物的总体称为集合（简称集）；

组成集合的事物称为元素（简称元）；

不含任何元素的集合称为空集，记作 $\mathrm{\varnothing }$ ；

元素 $a$ 属于集合 $M$，记作 $a\in M$ ；

元素 $a$ 不属于集合 $M$,记作 $a\notin M$ .

注：

$M$ 为数集 $\{\begin{array}{l}{M}^{\ast }\mathrm{表}\mathrm{示}M\mathrm{中}\mathrm{排}\mathrm{除}0\mathrm{的}\mathrm{集};\\ M^{+}\mathrm{表}\mathrm{示}\ast M\ast \mathrm{中}\mathrm{排}\mathrm{除}0\mathrm{与}\mathrm{负}\mathrm{数}\mathrm{的}\mathrm{集}.\end{array}$

2. 表示法

列举法：按某种方式列出集合中的全体元素；

• 有限集合：$A=\{a_1，a_2,...,a_n\}={\left\{a_i\right\}}_n^{i=1}$

• 自然数集：$N=\{0,1,2,...,n,...\}=\left\{n\right\}$

描述法：$M=\{x|x\mathrm{所}\mathrm{具}\mathrm{有}\mathrm{的}\mathrm{特}\mathrm{征}\}$

• 整数集合：$Z=\{x|x\in N\mathrm{或}-x\in N^{+}\}$

• 有理数集合：$Q=\{\frac{p}{q}|p\in Z,q\in N^{+},p\mathrm{与}q\mathrm{互}\mathrm{质}\}$

• 实数集合：$R=\{x|x\mathrm{为}\mathrm{有}\mathrm{理}\mathrm{数}\mathrm{或}\mathrm{无}\mathrm{理}\mathrm{数}\}$

• 开区间：$(a,b)=\{x|a<x<b\}$

• 闭区间：$[a,b]=\{x|a\le x\le b\}$

• 半开区间：$[a,b)=\{x|a\ll x<b\}$或$(a,b]=\{x|a<x\ll b\}$

• 无限区间：$[a,+\mathrm{\infty })=\{x|a\ll x\}$或$(-\mathrm{\infty },b]=\{x|x\ll b\}$或$(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })=\{x|x\in R\}$

3. 邻域

• 点的 $\delta$ 邻域：$U(a,\delta )=\{x|a-\delta <x<a+\delta \}=\{x||x-a|<\delta \}$
• 去心 $\delta$ 邻域：$\mathring{U}(a,\delta )=\{x|a-\delta <x<a+\delta \}$ 其中，$a$ 叫做邻域中心，$\delta$ 叫做邻域半径
• 左邻域：$(a-\delta ,a)$
• 右邻域：$(a,a+\delta )$

4. 集合间的关系

定义2：设集合 $A、B$，若 $x\in A$ 必有 $x\in B$，则称 $A$ 是 $B$ 的子集,或称$B$ 包含 $A$ ,记作 $A\subset B$；

若 $A\subset B$ 且 $B\subset A$，则称 $A$ 与 $B$ 相等，记作 $A=B$.

5. 集合间的运算

定义3：给定两个集合$A$、$B$，定义下列运算：

• 并集：$A\cup B=\{x\mid x\in A\text{ 或 }x\in B\}$
• 交集：$A\cap B=\{x\mid x\in A\text{ 且 }x\in B\}$
• 差集：$A\setminus B=\{x\mid x\in A\text{ 且 }x\notin B\}$
• 余集：$B_A^c=A\setminus B\text{ (其中 }B\subset A)$
• 直积：$A\times B=\{(x,y)\mid x\in A,y\in B\}$
• 特例：$\mathbf{R}\times \mathbf{R}\stackrel{\text{记}}{=}{\mathbf{R}}^2\text{为平面上的全体点集}$

二、映射

1. 定义

定义4：设 $X,Y$ 是两个非空集合，若存在一个对应规则 $f$，使得 $\mathrm{\forall }x\in X$，有唯一确定的 $y\in Y$ 与之对应，则称 $f$ 为从 $X$ 到 $Y$ 的映射，记作 $f:X\to Y$。

元素 $y$ 称为元素 $x$ 在映射 $f$ 下的像，记作 $y=f(x)$。

元素 $x$ 称为元素 $y$ 在映射 $f$ 下的原像。

集合 $X$ 称为映射 $f$ 的定义域；$Y$ 的子集 $R_f=f(X)=\{f(x)\mid x\in X\}$ 称为 $f$ 的值域。

注意：

• 映射的三要素——定义域，对应规则，值域。

• 元素 $x$ 的像 $y$ 是唯一的，但 $y$ 的原像不一定唯一。

2. 特例

满射、单射、双射（一一映射）

• 对映射 $f:X\to Y$

  若 $f(X)=Y$，则称 $f$ 为满射；

• 若 $\mathrm{\forall }{x}_1,x_2\in X,x_1\ne x_2$，有 $f(x_1)\ne f(x_2)$

​ 则称 $f$ 为单射；

• 若 $f$ 既是满射又是单射，则称 $f$ 为双射或一一映射。

三、函数

1. 函数的概念

定义5：设数集 $D\subset \mathbf{R}$，则称映射 $f:D\to \mathbf{R}$ 为定义在 $D$ 上的函数，记为

$y = f(x), x \in D \quad $

$ (\text{定义域：}D,\ \text{因变量：}y,\ \text{自变量：}x)$

$R_f=f(D)=\{y\mid y=f(x),x\in D\}$ 称为其值域。

2. 定义域与对于规律

• 定义域 —— 使表达式或实际问题有意义的自变量集合；
  • 对实际问题, 书写函数时必须写出定义域；
  • 对无实际背景的函数, 书写时可以省略定义域；
• 对应规律的表示方法: 解析法、图像法、列表法。

3. 有界性

4. 单调性

5. 奇偶性

6. 周期性

7. 反函数

8. 复合函数

9. 基本初等函数

10. 初等函数

四、三角函数补充

1. 六个三角函数的定义

设角 $\alpha$ 的终边与单位圆交于点 $P(x,y)$，则：

$\sin \alpha =y$，$\cos \alpha =x$，$\tan \alpha =\frac{y}{x}$

$\cot \alpha =\frac{x}{y}$，$\sec \alpha =\frac{1}{x}$，$\csc \alpha =\frac{1}{y}$

等价地：

$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }$，$\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$

$\sec \alpha =\frac{1}{\cos \alpha }$，$\csc \alpha =\frac{1}{\sin \alpha }$

2. 表达式、定义域、值域、周期

函数	表达式	定义域	值域	周期
正弦	$y=\sin x$	$\mathbb{R}$	$[-1,1]$	$2\pi$
余弦	$y=\cos x$	$\mathbb{R}$	$[-1,1]$	$2\pi$
正切	$y=\tan x$	$x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$	$\mathbb{R}$	$\pi$
余切	$y=\cot x$	$x\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$	$\mathbb{R}$	$\pi$
正割	$y=\sec x$	$x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$	$(-\mathrm{\infty },-1]\cup [1,+\mathrm{\infty })$	$2\pi$
余割	$y=\csc x$	$x\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$	$(-\mathrm{\infty },-1]\cup [1,+\mathrm{\infty })$	$2\pi$

3. 图像特征

正弦函数 $y=\sin x$：过原点，周期 $2\pi$，振幅 $1$，在 $[-\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{\pi }{2}+2k\pi ]$ 上递增，在 $[\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{3\pi }{2}+2k\pi ]$ 上递减。

余弦函数 $y=\cos x$：过点 $(0,1)$，与正弦函数相位差 $\frac{\pi }{2}$，在 $[-\pi +2k\pi ,2k\pi ]$ 上递增，在 $[2k\pi ,\pi +2k\pi ]$ 上递减。

正切函数 $y=\tan x$：周期 $\pi$，在 $(-\frac{\pi }{2}+k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi )$ 内单调递增，有垂直渐近线 $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$，过点 $(k\pi ,0)$。

余切函数 $y=\cot x$：周期 $\pi$，在 $(k\pi ,(k+1)\pi )$ 内单调递减，有垂直渐近线 $x=k\pi$，过点 $(\frac{\pi }{2}+k\pi ,0)$。

正割函数 $y=\sec x$：偶函数，周期 $2\pi$，有垂直渐近线 $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$。

余割函数 $y=\csc x$：奇函数，周期 $2\pi$，有垂直渐近线 $x=k\pi$。

4. 反三角函数

反函数	定义域	值域	单调性
$y=\arcsin x$	$[-1,1]$	$[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$	增
$y=\arccos x$	$[-1,1]$	$[0,\pi ]$	减
$y=\arctan x$	$\mathbb{R}$	$(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$	增
$y=\mathrm{arccot}x$	$\mathbb{R}$	$(0,\pi )$	减

常用关系：

$\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi }{2}$

$\arctan x+\mathrm{arccot}x=\frac{\pi }{2}$

$\mathrm{arcsec}x=\arccos \frac{1}{x}$，$\mathrm{arccsc}x=\arcsin \frac{1}{x}$

5. 基本恒等式

${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$

$1+{\tan }^{2}x={\sec }^{2}x$

$1+{\cot }^{2}x={\csc }^{2}x$

奇偶性：

$\sin (-x)=-\sin x$，$\cos (-x)=\cos x$，$\tan (-x)=-\tan x$

$\cot (-x)=-\cot x$，$\sec (-x)=\sec x$，$\csc (-x)=-\csc x$

6. 和角与差角公式

$\sin (A\pm B)=\sin A\cos B\pm \cos A\sin B$

$\cos (A\pm B)=\cos A\cos B\mp \sin A\sin B$

$\tan (A\pm B)=\frac{\tan A\pm \tan B}{1\mp \tan A\tan B}$

$\cot (A\pm B)=\frac{\cot A\cot B\mp 1}{\cot B\pm \cot A}$

7. 倍角公式

二倍角：

$\sin 2x=2\sin x\cos x$

$\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=2{\cos }^{2}x-1=1-2{\sin }^{2}x$

$\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-{\tan }^{2}x}$

$\cot 2x=\frac{{\cot }^{2}x-1}{2\cot x}$

三倍角：

$\sin 3x=3\sin x-4{\sin }^{3}x$

$\cos 3x=4{\cos }^{3}x-3\cos x$

$\tan 3x=\frac{3\tan x-{\tan }^{3}x}{1-3{\tan }^{2}x}$

8. 半角公式

$\sin \frac{x}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}$

$\cos \frac{x}{2}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}$

$\tan \frac{x}{2}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}=\frac{1-\cos x}{\sin x}=\frac{\sin x}{1+\cos x}$

$\cot \frac{x}{2}=\pm \sqrt{\frac{1+\cos x}{1-\cos x}}=\frac{1+\cos x}{\sin x}=\frac{\sin x}{1-\cos x}$

9. 和差化积公式

$\sin A+\sin B=2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}$

$\sin A-\sin B=2\cos \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}$

$\cos A+\cos B=2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}$

$\cos A-\cos B=-2\sin \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}$

10. 积化和差公式

$\sin A\cos B=\frac{1}{2}[\sin (A+B)+\sin (A-B)]$

$\cos A\sin B=\frac{1}{2}[\sin (A+B)-\sin (A-B)]$

$\cos A\cos B=\frac{1}{2}[\cos (A+B)+\cos (A-B)]$

$\sin A\sin B=\frac{1}{2}[\cos (A-B)-\cos (A+B)]$

11. 万能公式

令 $t=\tan \frac{x}{2}$，则：

$\sin x=\frac{2t}{1+t^2}$，$\cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}$，$\tan x=\frac{2t}{1-t^2}$

$\cot x=\frac{1-t^2}{2t}$，$\sec x=\frac{1+t^2}{1-t^2}$，$\csc x=\frac{1+t^2}{2t}$

12. 辅助角公式

$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\sin (x+\phi )$

其中 $\cos \phi =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$，$\sin \phi =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$

也可写为：

$a\sin x+b\cos x=\sqrt{a^2+b^2}\cos (x-\theta )$

其中 $\cos \theta =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$，$\sin \theta =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$

13. 降幂与升幂公式

${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$，${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$

${\tan }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{1+\cos 2x}$

${\sin }^{3}x=\frac{3\sin x-\sin 3x}{4}$，${\cos }^{3}x=\frac{3\cos x+\cos 3x}{4}$

14. 诱导公式

$\sin (\pi -x)=\sin x$，$\cos (\pi -x)=-\cos x$

$\sin (\pi +x)=-\sin x$，$\cos (\pi +x)=-\cos x$

$\sin (-x)=-\sin x$，$\cos (-x)=\cos x$

$\sin (\frac{\pi }{2}-x)=\cos x$，$\cos (\frac{\pi }{2}-x)=\sin x$

$\sin (\frac{\pi }{2}+x)=\cos x$，$\cos (\frac{\pi }{2}+x)=-\sin x$

$\tan (\pi +x)=\tan x$，$\tan (-x)=-\tan x$

15. 反函数复合关系

$\sin (\arcsin x)=x$，$x\in [-1,1]$

$\cos (\arccos x)=x$，$x\in [-1,1]$

$\tan (\arctan x)=x$，$x\in \mathbb{R}$

$\arcsin (\sin x)=x$，$x\in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$

$\arccos (\cos x)=x$，$x\in [0,\pi ]$

$\arctan (\tan x)=x$，$x\in (-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$

五、其他公式补充

• 基础因式分解

​ $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$ ​ $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$

• 完全立方展开

​ $(a+b{)}^3=a^3+3a^{2}b+3a{b}^2+b^3$ ​ $(a-b{)}^3=a^3-3a^{2}b+3a{b}^2-b^3$ ​ $(a+b+c{)}^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)$

• 三项立方和恒等式

​ $a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$ ​ $\mathrm{若}a+b+c=0，\mathrm{则}{a}^3+b^3+c^3=3abc$

• 常用变形

​ $a^3+b^3=(a+b{)}^3-3ab(a+b)$ ​ $a^3-b^3=(a-b{)}^3+3ab(a-b)$